Question

在平面直角坐標系中，已知向量

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2）（k∈R），若|

a

+

b

|=|

a

-

b

|．
（1）求動點M（x，y）的軌跡T的方程，并說明該方程表示的曲線的形狀；
（2）當k=

4

3

時，已知F₁（0，-1）、F₂（0，1），點P軌跡T在第一象限的一點，且滿足|

PF1

|-|

PF2

|=1，若點Q是軌跡T上不同于點P的另一點，問是否存在以PQ為直徑的圓G過點F₂，若存在，求出圓G的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,平面向量數量積的運算

專題：綜合題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，可得

a

⊥

b

，結合

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），可得kx²+y²-4=0，分類討論，即可得出結論；
（2）求出P的坐標，設Q（x，y），存在以PQ為直徑的圓G過點F₂，則F₂P⊥F₂Q，可得Q的坐標，即可求出圓G的方程．

解答： 解：（1）∵|

a

+

b

|=|

a

-

b

|，
∴

a

⊥

b

，
∵

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+2），
∴kx²+y²-4=0，
k=0時，y²-4=0，表示直線；
k≠0時，方程為

x2

4 k

+

y2

4

=1，k＜0表示雙曲線；0＜k＜1表示焦點在x軸上的橢圓；k=1表示圓；k＞1表示焦點在y軸上的橢圓；
（2）當k=

4

3

時，方程為

x2

3

+

y2

4

=1．
|

PF1

|-|

PF2

|=1＜|F₁F₂|，故P滿足方程

y2

1 4

-

x2

3 4

=1（x＞0，y＞0），
兩方程聯立可得P（

3

2

，1）
設Q（x，y），存在以PQ為直徑的圓G過點F₂，則F₂P⊥F₂Q，
∴（

3

2

，0）•（x，y-1）=0，
∴x=0，
∴y=±2，
∴Q（0，±2），
Q（0，2），此時PQ的中點（

3

4

，

3

2

），|PQ|=

9 4 +1

=

13

2

，∴圓G的方程為（x-

3

4

）²+（y-

3

2

）²=

13

16

；
Q（0，-2），此時PQ的中點（

3

4

，-

1

2

），|PQ|=

9 4 +9

=

3 5

2

，∴圓G的方程為（x-

3

4

）²+（y+

1

2

）²=

45

16

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．