Question

20．已知函數f（x）=$\frac{x+4}{x}$與g（x）=|x²-6x|的定義域為[1，4]．
（1）求這兩個函數的值域并作處這兩個函數的圖象；
（2）若函數g（x）的圖象與直線y=k僅有一個交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據函數的解析式，利用單調性、二次函數的性質求得它們的值域，畫出它們的圖象．
（2）結合函數g（x）的圖象可得，求得當函數g（x）的圖象與直線y=k僅有一個交點時k的范圍．

解答 解：（1）∵x∈[1，4]，∴函數f（x）=$\frac{x+4}{x}$=1+$\frac{4}{x}$為減函數，故它的值域為[2，5]．
∵x∈[1，4]，∴函數g（x）=|x²-6x|=6x-x²，∵x∈[1，4]，∴當x=3時，函數取得最大值為9，
當x=1時，函數取得最小值為5，故函數的值域為[5，9]．
它們的圖象如圖所示：

（2）結合函數g（x）的圖象可得，若函數g（x）的圖象與直線y=k僅有一個交點，
則 k=9，或 5≤k＜8．

點評 本題主要考查利用單調性求函數的值域，帶有絕對值的函數，函數的圖象，屬于中檔題．