Question

隨機調查某社區80個人，以研究這一社區居民在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別的關系，得到數據表：

休閑方式 性別	看電視	看書	合計
男	10	50	60
女	10	10	20
合計	20	60	80

（Ⅰ）在該社區隨機調查3名男性（以所抽取樣本的頻率估計為總體的概率），設調查的3人在這一時間段以看書為休閑方式的人數為隨機變量X，求X的分布列和期望；
（Ⅱ）根據以上數據，能否有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別有關系？
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c-d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c-d．
參考數據：

P（K2≥K0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
K0	2.072	2.706	3.841	5.042	6.635

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,獨立性檢驗,離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統計

分析：（Ⅰ）依題意，隨機變量X的取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．
（Ⅱ）提出假設H₀：休閑方式與性質別無關系，根據樣本提供的2×2列聯表，得當H₀成立時，K²≥6.635的概率約為0.01，由此能推導出有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別有關系．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，隨機變量X的取值為0，1，2，3，
且每個男性在這一時間段以看書為休閑方式的概率為P=

5

6

，
P（X=0）=

C

0 3

(

1

6

)3=

1

216

，
P（X=1）=

C

1 3

(

1

6

)2(

5

6

)=

25

72

，
P（X=2）=

C

2 3

(

1

6

)(

5

6

)2=

25

72

，
P（X=3）=

C

3 3

(

5

6

)3=

125

216

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 216	5 72	25 72	125 216

∴EX=0×

1

216

+1×

5

72

+2×

25

72

+3×

125

216

=

5

2

．
（Ⅱ）提出假設H₀：休閑方式與性質別無關系，
根據樣本提供的2×2列聯表，得：
k=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

80(10×10-10×50)2

60×20×20×60

=

80

9

≈8.889＞6.635，
∵當H₀成立時，K²≥6.635的概率約為0.01，
∴有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別有關系．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望的求法，考查是否有99%的把握認為“在20：00-22：00時間段的休閑方式與性別有關系的判斷與求法，是中檔題．