Question

如圖，某市擬在長為4km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y=Asinωx（A＞0，ω＞0），X∈[0，2]的圖象，且圖象的最高點為S（

3

2

，

3

）；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP=120°．
（Ⅰ） 求A，ω的值和M，P兩點間的距離；
（Ⅱ） 應如何設計，才能使折線段賽道MNP最長？

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,余弦定理的應用

專題：空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）由題知，圖象的最高點為S（

3

2

，

3

），從而A=

3

，

T

4

=

3

2

，由此能求出A，ω的值和M，P兩點間的距離．
（Ⅱ）設MN=x，NP=y，（x，y＞0），在△MNP中，由余弦定理得

25

4

=(x+y)2-xy，又由于xy≤

(x+y)2

4

（x=y時取等號），由此能求出折線段賽道MNP的最長．

解答： 解：（Ⅰ）由題知，圖象的最高點為S（

3

2

，

3

），
所以A=

3

，

T

4

=

3

2

，…（2分）
也所以有T=6=

2π

ω

，得ω=

π

3

，…（4分）
所以有y=

3

sin

π

3

x，當x=2時，y=

3

sin

2π

3

=

3

2

，
即M（2，

3

2

），又P（4，0），
所以MP=

(4-2)2+( 3 2 )2

=

5

2

．…（6分）
（Ⅱ）設MN=x，NP=y，（x，y＞0），
在△MNP中，由余弦定理得：
MP²=

25

4

=MN²+NP²-2MN•NP•cos120°，…（8分）
所以有

25

4

=(x+y)2-xy，又由于xy≤

(x+y)2

4

（x=y時取等號）
也所以

25

4

=(x+y)2-xy≥(x+y)2-

(x+y)2

4

，…（10分）
所以0＜x+y≤

5

3

3

，…（12分）
即將折線段賽道中，MN與NP的長度設計相等時，
折線段賽道MNP最長．…（13分）

點評：本題考查A，ω的值和M，P兩點間的距離的求法，考查如何設計，才能使折線段賽道MNP最長的求法，解題時要注意余弦定理的合理運用．