【題目】已知函數
滿足
，對于任意
都有
，且
，另
（1）求函數
的表達式；
（2）當
時，求函數
的單調區間；
（3）當時，判斷函數在區間
上的零點個數，并給予證明.
【答案】（1）
；
（2）當
時，函數
單調遞增區間為
，單調遞減區間為
；
（3）當時，函數在區間
上只有一個零點,證明見解析.
【解析】
（1）先由
，得
，由
，得出對稱軸方程為
，于是得出
，再由
得出不等式
對任意
恒成立，于是得出
，從而解出
、
的值，進而得出函數
的解析式；
（2）先將函數
表示成分段函數的形式，考查對稱軸與相應定義域的位置關系，結合二次函數的性質得出函數的單調區間；
（3）利用（2）中函數的單調性，結合單調性與零點存在定理得出函數的零點個數.
（1）
，
，
對于任意都有,
函數
的對稱軸為，即
，得.
又，即對于任意都成立，
且
，又
，
，
．
；
（2）
.
① 當
時，函數
的對稱軸為
，
若，則
，函數
在
上單調遞增；
② 當
時，函數
的對稱軸為
，
則函數在
上單調遞增，在上單調遞減．
綜上所述，當時，函數單調遞增區間為，單調遞減區間為
；
（3）當時，由（2）知函數在區間
上單調遞增，
又
，
，故函數在區間上只有一個零點．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點是拋物線
的焦點，直線
與
相交于不同的兩點
．
（1）求的方程；
（2）若直線經過點
，求
的面積的最小值(
為坐標原點)；
（3）已知點
，直線經過點
，
為線段
的中點，求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于數列
，定義
， 
．
(1) 若
，是否存在
，使得
？請說明理由；
(2) 若
， 
，求數列
的通項公式；
(3) 令
，求證：“
為等差數列”的充要條件是“
的前4項為等差數列，且
為等差數列”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有一堆規格相同的正六棱柱型金屬螺帽毛坯，經測定其密度為
，總重量為
.其中一個螺帽的三視圖如下圖所示（單位：毫米）.
（1）這堆螺帽至少有多少個；
（2）對上述螺帽作防腐處理，每平方米需要耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料（結果精確到0.01）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“團購”已經滲透到我們每個人的生活，這離不開快遞行業的發展，下表是2013-2017年全國快遞業務量（x億件：精確到0.1）及其增長速度（y%）的數據
（1）試計算2012年的快遞業務量；
（2）分別將2013年，2014年，…，2017年記成年的序號t：1，2，3，4，5；現已知y與t具有線性相關關系，試建立y關于t的回歸直線方程
；
（3）根據（2）問中所建立的回歸直線方程，估算2019年的快遞業務量
附：回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為：
，
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓方程為
．
（1）設橢圓的左右焦點分別為
、
，點
在橢圓上運動，求
的值；
（2）設直線
和圓
相切，和橢圓交于
、
兩點，
為原點，線段
、
分別和圓交于
、
兩點，設
、
的面積分別為
、
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了了解高一年級學生學習數學的狀態,從期中考試成績中隨機抽取50名學生的數學成績,按成績分組:第1組
,第2組
,第3組
,第4組
,第5組
,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)由頻率分布直方圖,估計這50名學生數學成績的中位數和平均數(保留到0.01);
(2)該校高一年級共有1000名學生,若本次考試成績90分以上(含90分)為“優秀”等次,則根據頻率分布直方圖估計該校高一學生數學成績達到“優秀”等次的人數.
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