【題目】如圖，已知四棱錐
，底面
為菱形， 
平面，
，E，F分別是
，
的中點.
（1）求證：
；
（2）若直線
與平面
所成角的余弦值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析 (2) 
【解析】
（1）在底面菱形中可得
，
.由
平面
，得
.從而有線面垂直，因此線線垂直；
（2）由于圖中有
，
，
兩兩垂直，因此以A為坐標原點，建立空間直角坐標系
，設
，
，寫出各點坐標，求出平面的法向量，用空間向量法表示線面角求出a，再求解二面角．
（1）證明：由四邊形為菱形，
，可得
為正三角形.
因為E為
的中點，所以.又
，因此.
因為平面，
平面，所以.
而
平面
，
平面，且
，
所以
平面，又
平面.所以
.
（2）由（1）知，，兩兩垂直，以A為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，設，，則
，
，
所以
，且
為平面的法向量，設直線
與平面所成的角為
，由
，則有
解得
所以
，
設平面
的一法向量為
，則
，
因此
取
，
則
因為
，所以
平面
，故
為平面的一法向量
又
所以
.
因為二面角
為銳角，所以所求二面角的余弦值為
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于函數
，如果存在實數
（
，且
不同時成立），使得
對
恒成立，則稱函數
為“
映像函數”.
（1）判斷函數
是否是“映像函數”，如果是，請求出相應的的值，若不是，請說明理由；
（2）已知函數
是定義在
上的“
映像函數”，且當
時，
.求函數（
）的反函數；
（3）在（2）的條件下，試構造一個數列
，使得當
時，
，并求時，函數的解析式，及
的值域．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于在某個區間
上有意義的函數
，如果存在一次函數
使得對于任意的
，有
恒成立，則稱函數
是函數的一個弱漸近函數.
（1）若函數
是函數
在區間
上的一個弱漸近函數，求實數
的取值范圍；
（2）證明：函數
是函數
在區間上的弱漸近函數；
（3）試問：函數
與函數
（其中
為自然對數的底數）在區間
上是否存在相同的弱漸近函數？如果存在，請求出對應的弱漸近函數應滿足的條件；如不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的左頂點為
，右焦點為
，斜率為1的直線與橢圓交于，
兩點，且
，其中
為坐標原點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點且與直線
平行的直線與橢圓交于
，
兩點，若點
滿足
，且
與橢圓的另一個交點為
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的左、右頂點分別為A、B，雙曲線
以A、B為頂點，焦距為
，點P是上在第一象限內的動點，直線AP與橢圓相交于另一點Q，線段AQ的中點為M，記直線AP的斜率為
為坐標原點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)求點M的縱坐標
的取值范圍；
(3)是否存在定直線
使得直線BP與直線OM關于直線
對稱？若存在，求直線的方程；若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，若存在實數
，使得對于定義域內的任意實數
，均有
成立，則稱函數
為“可平衡”函數，有序數對
稱為函數的“平衡”數對.
（1）若
，判斷
是否為“可平衡”函數，并說明理由；
（2）若
，
，當
變化時，求證：
與
的“平衡”數對相同；
（3）若
，且
、
均為函數
的“平衡”數對.當
時，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】第十一屆全國少數民族傳統體育運動會在河南鄭州舉行，某項目比賽期間需要安排3名志愿者完成5項工作，每人至少完成一項，每項工作由一人完成，則不同的安排方式共有多少種
A.60B.90C.120D.150
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
的最小正周期為
，將函數
的圖像向右平移
個單位長度，再向下平移
個單位長度，得到函數
的圖像.
（1）求函數的單調遞增區間；
（2）在銳角
中，角
的對邊分別為
，若
，
，求面積的最大值.
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