Question

11．某城市在發展過程中，交通狀況逐漸受到有關部門的關注，據有關統計數據顯示，從上午6點到中午12點，車輛通過該市某一路段的用時y（分鐘）與車輛進入該路段的時刻t之間的關系可近似地用如下函數給出：
y=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{8}{t}^{3}-\frac{3}{4}{t}^{2}+36t-\frac{629}{4}，6≤t≤9}\\{\frac{1}{8}t+\frac{59}{4}，9≤t≤10}\\{-3{t}^{2}+66t-345，10＜t≤12}\end{array}\right.$
求從上午6點到中午12點，通過該路段用時最多的時刻．

Answer 1

分析 通過分段函數①當6≤t＜9時，利用函數的導數求出最大值；②當9≤t≤10時，通過函數的單調性求解最大值，③當10＜t≤12時，利用二次函數求解函數的最值，推出結果．

解答 解：①當6≤t＜9時，
y′=-$\frac{3}{8}$t²-$\frac{3}{2}$t+36=-$\frac{3}{8}$（t+12）（t-8）…（2分）
令y′=0，得t=-12（舍去）或t=8．
當6≤t＜8時，y′＞0，當8＜t＜9時，y′＜0，
故t=8時，y有最大值，y_max=18.75…（5分）
②當9≤t≤10時，y=$\frac{1}{8}$t+$\frac{59}{4}$是增函數，
故t=10時，y_max=16…（8分）
③當10＜t≤12時，y=-3（t-11）²+18，
故t=11時，y_max=18…（11分）
綜上可知，通過該路段用時最多的時刻為上午8點…（12分）

點評 本題考查分段函數的應用，函數的導數求解函數的最值，二次函數的最值，函數的單調性求解最值的方法，考查分析問題解決問題的能力以及分類討論思想，轉化思想的應用．