Question

已知函數f(x)＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲線y＝f(x)過點P(1，－1)，求曲線y＝f(x)在點P處的切線方程；

（2）求函數f(x)在區間[1，e]上的最大值；

（3）若函數f(x)有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1x2＞e2．

 

Answer 1

（1）;（2）①當時，；②當時，

③當時，;（3）詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據題意首先由點在曲線上，運用待定系數的方法求出，再由切線與導數的關系即可求出切線方程為;（2）對函數求導可得：，分析m對導數的影響，可見要進行分類討論：①當時，，所以函數在上單調遞增，利用單調性可求出最大值;②當，即時，，所以函數在上單調遞增，利用單調性可求出最大值;③當，即時，導數有下有負，列表可求出函數的最大值;④當，即時，，所以函數在上單調遞減，利用單調性可求出最大值;（3）顯然兩零點均為正數，故不妨設，由零點的定義可得：，即，觀察此兩式的結構特征可相加也可相減化簡得：，現在我們要證明，即證明，也就是．又因為，所以即證明，即．由它的結構可令＝t，則，于是．構造一新函數，將問題轉化為求此函數的最小值大于零，即可得證．

試題解析：（1）因為點在曲線上，所以，解得．

因為，所以切線的斜率為0，所以切線方程為． 3分

（2）因為．

①當時，，所以函數在上單調遞增，則．

②當，即時，，所以函數在上單調遞增，則 5分

③當，即時，函數在上單調遞增，在上單調遞減，

則． 7分

④當，即時，，所以函數在上單調遞減，則 9分

綜上，①當時，；

②當時，

③當時，． 10分

（3）不妨設．因為，所以，

可得．

要證明，即證明，也就是．

因為，所以即證明，即． 12分

令＝t，則，于是．

令，則．

故函數在上是增函數，所以，即成立．

所以原不等式成立． 16分

考點：1.曲線的切線;2.函數與導數的綜合運用;3.函數的零點與方程的根