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13.設函數f(x)=2sin($\frac{π}{2}$+x)cosx-$\sqrt{3}$(cosx-sinx)2
(1)求函數f(x)的單調遞減區間;
(2)將f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位,再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍,得到函數y=g(x),求g($\frac{π}{4}$)的值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡函數的解析式,再利用正弦函數的單調性,得出結論.
(2)根據函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規律,得出結論.

解答 解:(1)$f(x)=2sin({\frac{π}{2}+x})cosx-\sqrt{3}{(cosx-sinx)^2}$=$2{cos^2}x-\sqrt{3}(1-2sinxcosx)$=$1+cos2x+\sqrt{3}sin2x-\sqrt{3}$=$2sin({2x+\frac{π}{6}})+1-\sqrt{3}$.
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ(k∈Z)$,求得$x∈[{\frac{π}{6}+kπ,\;\;\frac{2}{3}π+kπ}],\;\;k∈Z$,
故函數f(x)的單調遞減區間為[kπ+$\frac{π}{6}$,kπ+$\frac{2π}{3}$],k∈Z.
(2)將f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個單位,可得y=2sin[2(x-$\frac{π}{12}$)+$\frac{π}{6}$]+1-$\sqrt{3}$=2sin2x+1-$\sqrt{3}$的圖象;
再將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的$\frac{1}{2}$倍,得到函數y=g(x)=2sin4x+1-$\sqrt{3}$的,
∴g($\frac{π}{4}$)=0+1-$\sqrt{3}$=1-$\sqrt{3}$.

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數的單調性,函數y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規律,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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