Question

18．已知函數f（x）=asinx+bcosx滿足f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（-x）對x∈R恒成立，則要得到g（x）=2sin2x的圖象，只需把f（x）的圖象（　　）

• A． 向右平移$\frac{π}{6}$，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$
• B． 向右平移$\frac{π}{6}$，橫坐標伸長為原來的2倍
• C． 向右平移$\frac{π}{3}$，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$
• D． 向右平移$\frac{π}{3}$，橫坐標伸長為原來的2倍

Answer 1

分析 由題意根據正弦函數的圖象的對稱性，求得a的值，可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），再利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，得出結論．

解答 解：∵函數f（x）=asinx+bcosx滿足f（x+$\frac{2π}{3}$）=f（-x）對x∈R恒成立，∴函數f（x）的圖象關于直線x=$\frac{π}{3}$對稱，
∴f（0）=f（$\frac{2π}{3}$） 即 b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$b，求得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，f（x）=asinx+$\frac{\sqrt{3}}{3}a$•cosx．
根據題意，2=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}$，故可取 a=$\sqrt{3}$，f（x）=$\sqrt{3}$sinx+cosx=2sin（x+$\frac{π}{6}$）．
則要得到g（x）=2sin2x的圖象，只需把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{6}$，橫坐標縮短為原來的$\frac{1}{2}$ 即可，
故選：A．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，屬于中檔題．