Question

4．已知a，b∈[0，1]，則S（a，b）=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{b}{1+a}$+（1-a）（1-b）的最小值為$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 S（a，b）=1-$\frac{ab（1-ab）}{（1+a）（1+b）}$，令T=$\frac{ab（1-ab）}{（1+a）（1+b）}$，X=$\sqrt{ab}$，則T=f（X）=$\frac{{x}^{2}（1-X）}{1+x}$，X∈[0，1]，利用導數法，求出函數的最值，可得答案．

解答 解：∵a，b∈[0，1]，
∴S（a，b）=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{b}{1+a}$+（1-a）（1-b）=1-$\frac{ab（1-ab）}{（1+a）（1+b）}$，
令T=$\frac{ab（1-ab）}{（1+a）（1+b）}$，X=$\sqrt{ab}$，
則T=$\frac{ab（1-ab）}{（1+a）（1+b）}$=$\frac{ab（1-ab）}{1+a+b+ab}$＜$\frac{ab（1-ab）}{1+2\sqrt{ab}+ab}$=$\frac{{X}^{2}（1-{X}^{2}）}{（1+X）^{2}}$=$\frac{{x}^{2}（1-X）}{1+x}$，
令f（X）=$\frac{{x}^{2}（1-X）}{1+x}$，X∈[0，1]，
可得：f′（X）=$\frac{{-2X}^{\;}（{X}^{2}+X-1）}{{（1+X）}^{2}}$，X∈[0，1]，
X∈[0，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）時，f′（X）＞0，
X∈（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，1]時，f′（X）＜0，
故當X=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時，f（X）取最大值$\frac{5\sqrt{5}-11}{2}$，
故S（a，b）=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{b}{1+a}$+（1-a）（1-b）的最小值為1-$\frac{5\sqrt{5}-11}{2}$=$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$，
故答案為：$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$

點評 本題考查的知識點是導數在求函數最值中的應用，構造法，轉化思想，函數的最值及其幾何意義，難度較大．