Question

設f（x）為二次函數，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=-4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）-x-a，若函數g（x）在實數R上沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：（1）用待定系數法，設出f（x）的解析式，f（x+1）-f（x）=-4x+1中，求出系數即可．
（2）可求得g（x）=-2x²+2x-a，g（x）在實數R上沒有零點，?△=4-8a＜0，從而可求得a的取值范圍

解答： 解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
則f（x+1）-f（x）=2ax+a+b
所以2ax+a+b=1-4x對一切x∈R成立．故

2a=-4 a+b=1

所以

a=-2 b=3

，
又因為f（1）=1，所以a+b+c=1，所以c=0．
故f（x）=-2x²+3x
（2）g（x）=f（x）-x-a=-2x²+2x-a，
函數g（x）在實數R上沒有零點，則函數圖象與x軸沒有交點
故△=4-8a＜0，
解之得a＞

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點評：本題考查求解函數解析式及一元二次方程的根的分布與系數的關系，著重考查待定系數法，考查二次函數零點，屬于中檔題．