Question

關于x的不等式sin²x+acosx-a²≤1+cosx對一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）

• A、（-1，

  1

  3

  ）
• B、[-1，

  1

  3

  ]
• C、（-∞，-1]∪[

  1

  3

  ，+∞）
• D、（-∞，-1）∪（

  1

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用

分析：將不等式進行轉化，利用換元法將函數轉化為一元二次函數，根據一元二次函數的性質建立不等式關系即可得到結論．

解答： 解：不等式等價為1-cos²x+acosx-a²≤1+cosx對一切x∈R恒成立，
即cos²x+（1-a）cosx+a²≥0恒成立，
設t=cosx，則-1≤t≤1，
則不等式等價為t²+（1-a）t+a²≥0，在-1≤t≤1上恒成立，
設f（t）=t²+（1-a）t+a²，-1≤t≤1，
對稱性t=-

1-a

2

=

a-1

2

，
則滿足

f(1)≥0 f(-1)≥0 f( a-1 2 )≥0

．即

a2-a+2≥0 a2+a≥0 ( a-1 2 )2+ (1-a)(a-1) 2 +a2≥0

，
則

a2+a≥0 3a2+2a-1≥0

，
即

a≥0或a≤-1 a≥ 1 3 或a≤-1

，解得a≤-1或a≥

1

3

，
故選：C

點評：此題考查函數的恒成立問題，利用換元法結合一元二次不等式和一元二次函數的性質是解決本題的關鍵．