Question

已知圓C₁：（x-2cosθ）²+（y-2sinθ）²=1與圓C₂：x²+y²=1，在下列說法中：
①對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有四條公切線；
②對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終相切；
③P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動點，則|PQ|的最大值為4．
④直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R）與圓C₂一定相交于兩個不同的點；
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：圓的標準方程

專題：直線與圓,坐標系和參數(shù)方程

分析：由題意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），兩圓的半徑都是1，根據(jù)圓心距d=2，正好等于半徑之和，可得兩圓相外切，從而得到①不正確、②③正確．再根據(jù)直線l經(jīng)過定點M（

1

2

，

1

3

）．而點M在圓C₂：x²+y²=1的內部，可得④正確，從而得出結論．

解答： 解：由題意可得C₁（2cosθ，2sinθ），C₂（0，0），兩圓的半徑都是1，
由于圓心距d=

(2cosθ-0)2+(2sinθ-0)2

=2，正好等于半徑之和，可得兩圓相外切，
故對于任意的θ，圓C₁與圓C₂始終有三條公切線，圓C₁與圓C₂始終相切，
若P，Q分別為圓C₁與圓C₂上的動點，則|PQ|的最大值為4，故①不正確、②③正確．
由于直線l：2（m+3）x+3（m+2）y-（2m+5）=0（m∈R），即 （6x+6y-5）+m（2x+3y-2）=0，
由

6x+6y-5=0 2x+3y-2=0

，求得

x= 1 2 y= 1 3

，故直線l經(jīng)過定點M（

1

2

，

1

3

）．
而點M在圓C₂：x²+y²=1的內部，故直線l與圓C₂一定相交于兩個不同的點，故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查圓和圓的位置關系，直線經(jīng)過定點問題，屬于基礎題．