Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n=a₁+

1

2

a2+

1

3

a₂+…+

1

n-1

an-1（n≥2，n∈N₊）．若a_n=2014，則n=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用構造法，求出數列{a_n}的通項公式即可得到結論．

解答： 解：∵a_n=a₁+

1

2

a2+

1

3

a₂+…+

1

n-1

an-1（n≥2，n∈N₊）．
∴a_n+1=a₁+

1

2

a2+

1

3

a₂+…+

1

n-1

an-1+

1

n

a_n，（n≥3，n∈N₊）．
兩式作差得a_n+1-a_n=

1

n

a_n，
即a_n+1=a_n+

1

n

a_n=

n+1

n

a_n，
a₂=a₁=1，a₃=a₁+

1

2

a₂=

3

2

則

a4

a3

=

4

3

，

a5

a4

=

5

4

，…

an

an-1

=

n

n-1

，
∴等式兩邊相乘得

an

a3

=

4

3

×

5

4

×…×

n

n-1

=

n

3

，
則a_n=

n

3

×

3

2

=

n

2

，n≥3，n∈N₊．
∵a_n=

n

2

=2014，
∴n=4028，
故答案為：4028

點評：本題主要考查遞推數列的應用，根據利用作差法是解決本題的關鍵．