Question

17．已知曲線x²-4y²=4，過點A（3，-1）且被點A平分的弦MN所在的直線方程為3x+4y-5=0．

Answer 1

分析 設兩個交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），利用點差法求得直線的斜率，進一步求出直線方程，然后驗證直線與曲線方程由兩個交點即可．

解答 解：設兩個交點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
所以x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₁²=4，兩式相減得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=4（y₁+y₂）（y₁-y₂），
又$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=3，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-1，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，
所以直線的方程為y+1=-$\frac{3}{4}$（x-3），即3x+4y-5=0．
由點A（3，-1）在雙曲線內部，直線方程滿足題意．
∴MN所在直線的方程是3x+4y-5=0．
故答案為：3x+4y-5=0．

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題的關鍵是充分運用數形結合的數學思想、方程的數學思想和轉化的數學思想來解決較為復雜的綜合題．