Question

19．在極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．現以極點O為原點，極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數）．
（1）寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l和曲線C交于A，B兩點，定點P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，可得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，利用互化公式即可得出直角坐標方程；直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-3+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數）．消去參數t可得直線l的普通方程．
（2）把直線l的參數方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入到圓C方程中，得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，由直線標準參數方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|．

解答 解：（1）ρ=4$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）=4sin θ+4cos θ，
所以ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
所以x²+y²-4x-4y=0，
即（x-2）²+（y-2）²=8；
直線l的普通方程為$\sqrt{3}$x-y+2$\sqrt{3}$-3=0..…（5分）
（2）把直線l的參數方程改寫為$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{1}{2}t}\\{y=-3+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數）代入到圓C：x²+y²-4x-4y=0中，
得t²-（4+5$\sqrt{3}$）t+33=0，
設A，B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁t₂=33．
點P（-2，-3）顯然在直線l上，
由直線標準參數方程下t的幾何意義知：|PA|•|PB|=|t₁t₂|=33，
所以|PA|•|PB|=33..…（12分）

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程參數方程化為普通方程及其應用、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．