Question

3．P（1，1）為橢圓$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{2}$=1內一定點，經過P引一弦，使此弦在P點被平分，求此弦所在的直線方程．

Answer 1

分析 方法一：設直線的斜率，代入橢圓方程，根據韋達定理及中點坐標公式，即可求得直線的斜率，求得直線方程；
方法二：設弦的兩端點坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），代入橢圓方程，作差，即可求得直線的斜率，求得的直線方程；
方法三：設過P的弦與橢圓相交于M（1+m，1+n），N（1-m，1-n），代入橢圓方程，作差，即可求得m+2n=0，則直線k=$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{2}$，求得的直線方程；

解答 解：解法一：易知引弦所在直線的斜率存在，則設其方程為y-1=k（x-1），
弦的兩端點為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（2k²+1）x²-4k（k-1）x+2（k²-2k-1）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$．
又∵x₁+x₂=2，∴$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$=2，得k=-$\frac{1}{2}$．
故弦所在直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．
解法二：由于此弦所在直線的斜率存在，所以設斜率為k，且設弦的兩端點坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，兩式相減得
$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴$\frac{x1-x2}{2}$+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴此弦所在直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．
∴此弦所在的直線方程x+2y-3=0．
方法三：由題意可知：過P的弦與橢圓相交于M（1+m，1+n），N（1-m，1-n），
由M，N在橢圓方程：$\frac{（1+m）^{2}}{4}+\frac{（1+n）^{2}}{2}=1$，$\frac{（1-m）^{2}}{4}+\frac{（1-n）^{2}}{2}=1$，
兩式相減得：m+2n=0，
則直線MN的斜率k=$\frac{（1+n）-（1-n）}{（1+m）-（1-m）}$=$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{2}$，
此弦所在直線方程為y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查直線的點斜式方程，點差法的應用，方法多，注意靈活應用，考查計算能力，屬于中檔題．