Question

2．在數列{a_n}及{b_n}中，a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．設c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，則數列{c_n}的前2017項和為4034．

Answer 1

分析 由已知可得a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2，a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}）=2{a}_{n}{b}_{n}$，即a_nb_n=2^n-1．代入c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，求得數列{c_n}為常數數列得答案．

解答 解：∵a_n+1=a_n+b_n+$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，b_n+1=a_n+b_n-$\sqrt{{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}}$，a₁=1，b₁=1．
∴a_n+1+b_n+1=2（a_n+b_n），a₁+b₁=2．
∴a_n+b_n=2ⁿ．
另一方面：a_n+1b_n+1=$（{a}_{n}+{b}_{n}）^{2}-（{{a}_{n}}^{2}+{{b}_{n}}^{2}）=2{a}_{n}{b}_{n}$，
∴a_nb_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}{b}_{n}}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n-1}}=2$，
則數列{c_n}的前2017項和S₂₀₁₇=2017×2=4034．
故答案為：4034．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．