Question

7．有下列命題：
①冪函數f（x）=$\frac{1}{x}$的單調遞減區間是（-∞，0）∪（0，+∞）；
②若函數f（x+2016）=x²-2x-1（x∈R），則函數f（x）的最小值為-2；
③若函數f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，則f（-2）＜f（a+1）；
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的減函數，則a的取值范圍是（$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；
 ⑤既是奇函數，又是偶函數的函數一定是f（x）=0（x∈R）．
其中正確命題的序號有②③．

Answer 1

分析 根據函數的圖象和性質，逐一分析給定的五個命題的真假，可得答案．

解答 解：①冪函數f（x）=$\frac{1}{x}$有兩個單調遞減區間：（-∞，0），（0，+∞），在（-∞，0）∪（0，+∞）上不具單調性，故錯誤；
②若函數f（x+2016）=x²-2x-1=（x-1）²-2（x∈R），當x=1時，函數f（x）的最小值為-2，故正確；
③若函數f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上單調遞增，則a＞1，a+1＞2，
則f（-2）=f（2）＜f（a+1）；故正確
④若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，（x＜1）}\\{lo{g}_{a}x，（x≥1）}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上的減函數，則$\left\{\begin{array}{l}3a-1＜0\\ 0＜a＜1\\ 3a-1+4a≥0\end{array}\right.$
解得：a的取值范圍是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）；故錯誤，
⑤既是奇函數，又是偶函數的函數不一定是f（x）=0（x∈R）．定義域關于原點對稱即可，故錯誤；
故答案為：②③

點評 本題以命題的真假判斷應用為載體，考查了函數的單調性，函數的最值，函數的奇偶性等知識點，難度中檔．