Question

17．在△ABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a=csinB+bcosC．
（1）求A+C的值；
（2）若b=$\sqrt{2}$，求△ABC面積的最值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知可得cosBsinC=sinCsinB，由于sinC≠0，可求tanB=1，結合范圍B∈（0，π），即可得解A+C的值．
（2）由已知及余弦定理可求$2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$，利用基本不等式可求$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$，利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理得到：sinA=sinCsinB+sinBcosC，
因為在三角形中，sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C），
所以sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinCsinB+sinBcosC，
所以cosBsinC=sinCsinB，
因為C∈（0，π），sinC≠0，
所以cosB=sinB，即tanB=1，
因為B∈（0，π），
所以B=$\frac{π}{4}$，即A+C=$\frac{3π}{4}$．
（2）由余弦定理得到：b²=a²+c²-2accosB，
所以$2={a^2}+{c^2}-\sqrt{2}ac$，
所以$2+\sqrt{2}ac={a^2}+{c^2}≥2ac$，即$ac≤\frac{2}{{2-\sqrt{2}}}=2+\sqrt{2}$，當且僅當a=c即$a=c=\sqrt{2+\sqrt{2}}$時“=”成立．
而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=\frac{{\sqrt{2}}}{4}ac$，
所以△ABC面積的最大值為$\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理，三角函數恒等變換的應用，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．