Question

6．已知定義在（0，$\frac{π}{2}}$）上的函數f（x），f'（x）為其導數，且$\frac{f（x）}{{{sin}x}}$＜$\frac{f'（x）}{cosx}$恒成立，則（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）＞$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）
• B． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＞f（$\frac{π}{4}$）
• C． f（1）＜2f（$\frac{π}{6}$）sin1
• D． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，則g′（x）=$\frac{sinxf′（x）-cosxf（x）}{si{n}^{2}x}$＞0恒成立，即g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}}$）為增函數，進而得到答案．

解答 解：當x∈（0，$\frac{π}{2}}$）時，sinx＞0，cosx＞0，
∵$\frac{f（x）}{{{sin}x}}$＜$\frac{f'（x）}{cosx}$恒成立，
∴sinxf′（x）-cosxf（x）＞0恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，則g′（x）=$\frac{sinxf′（x）-cosxf（x）}{si{n}^{2}x}$＞0恒成立，
即g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，x∈（0，$\frac{π}{2}}$）為增函數，
故g（$\frac{π}{3}$）＞g（$\frac{π}{6}$），
即$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{3}$），
故D正確；
故選：D

點評 本題考查的知識點是利用導數研究函數的單調性，構造函數g（x）=$\frac{f（x）}{sinx}$，并分析其單調性，是解答的關鍵．