Question

16．函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調遞增，則ω的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． [$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$]
• C． [$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$]
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 根據正弦函數f（x）的單調性，求出f（x）在R上的單調遞增區間，再結合題意列出不等式組即可求出ω的取值范圍．

解答 解：函數f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$≤x≤$\frac{π}{3ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，k∈Z；
所以f（x）在R上的單調遞增區間是
[-$\frac{2π}{3ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$，$\frac{π}{3ω}$+$\frac{2kπ}{ω}$]（k∈Z）；
又f（x）在（$\frac{π}{2}$，π）上單調遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2π}{3ω}+\frac{2kπ}{ω}≤\frac{π}{2}}\\{\frac{π}{3ω}+\frac{2kπ}{ω}≥π}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{ω≥-\frac{4}{3}+4k}\\{ω≤\frac{1}{3}+2k}\end{array}\right.$（k∈Z）；
又ω＞0，
所以k=0時得ω的取值范圍是0＜ω≤$\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，是綜合性問題．