Question

6．已知函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=-f（x+4），若函數y=$\frac{1}{2-x}$與y=f（x）圖象的交點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_m，y_m），則$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=（　　）

• A． 0
• B． m
• C． 2m
• D． 4m

Answer 1

分析 由題意可得f（x）的圖象關于點（0，2）對稱，函數而函數y=$\frac{1}{2-x}$的圖象也關于點（0，2）對稱，分m為奇數和偶數兩種情況討論即可求出答案

解答 解：函數f（x）（x∈R）滿足f（-x）=-f（x+4），
∴f（x）的圖象關于點（0，2）對稱，
而函數y=$\frac{1}{2-x}$的圖象也關于點（0，2）對稱，
當m為偶數時，
∴x₁+x_m =x₂+x_m-1 =x₃+x_m-2 =…=0，y₁+y_m=y₂+y_m-1=y₃+y_m-2 =…=4，
∴$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{m個}$=2m，
當m為奇數時，
∴x₁+x_m =x₂+x_m-1 =x₃+x_m-2 =…=${x}_{\frac{m+1}{2}}$，y₁+y_m=y₂+y_m-1=y₃+y_m-2 =…=2y${\;}_{\frac{m+1}{2}}$=4，
∴$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=$\underset{\underbrace{2+2+…+2}}{m個}$=2m，
綜上所述則$\sum_{i=1}^m$（x_i+y_i）=2m，
故選：C

點評 本題考查了函數圖象的識別和中心對稱的性質，屬于中檔題．