Question

15．設f（x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數，對于命題：
①若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數，則f（x）、g（x）、h（x）中至少有一個增函數；
②若T均是f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）的一個周期，則T也均是f（x）、g（x）、h（x）的一個周期，
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函數，則f（x）、g（x）、h（x）均是奇函數，
下列上述命題成立的個數為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 舉出反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$，可判斷①；
根據函數的周期性的定義，可判斷②；根據函數奇偶性的性質，可判斷③．

解答 解：①不成立．可舉反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x，x≤1\\-x+3，x＞1\end{array}\right.$．g（x）=$\left\{\begin{array}{l}2x+3，x≤0\\-x+3，0＜x＜1\\ 2x，x≥1\end{array}\right.$，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x，x≤0\\ 2x，x＞0\end{array}\right.$．均不是增函數，
但f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均為增函數，
故①錯誤；
②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），
h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），
前兩式作差可得：g（x）-h（x）=g（x+T）-h（x+T），
結合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），
同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正確．
③若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是奇函數，
f（x）+g（x）+f（x）+h（x）-[g（x）、h（x）]=2f（x）是奇函數，
即f（x）是奇函數，
同理g（x）、h（x）均是奇函數，故③正確；
故選：C．

點評 本題考查了抽象函數的單調性，奇偶性與周期性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題