Question

5．已知{a_n}是各項均為正數的等比數列，且a₂=2，a_n+2=a_n+1+2a_n，
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${b_n}=\frac{{{{（{a_n}+1）}^2}}}{a_n}$，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據已知條件可以求得a₁的值，結合等比數列的定義求得公比，利用等比數列的通項公式可以直接得到答案；
（Ⅱ）利用拆項法得到數列{b_n}的通項公式，然后利用分組求和法來求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（Ⅰ）令n=1，得a₃=a₂+2a₁，所以有q²-q-2=0，解得q=2，
又a₂=a₁q=2，得a₁=1，
所以${a_n}={2^{n-1}}$．
（II）${b_n}=\frac{{a_n^2+2{a_n}+1}}{a_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}+2={2^{n-1}}+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2$
所以${T_n}=（1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}）+（1+\frac{1}{2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}）+2n$=${2^n}-\frac{1}{{{2^{n-1}}}}+2n-1$．

點評 本題主要考查數列通項公式與前n項和之間的關系，以及分組求和法求和．