Question

18．定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x-3）=-f（x），對?x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，則有（　　）

• A． f（49）＜f（64）＜f（81）
• B． f（49）＜f（81）＜f（64）
• C． f（64）＜f（49）＜f（81）
• D． f（64）＜f（81）＜f（49）

Answer 1

分析 根據題意，由f（x-3）=-f（x）分析可得f（x-6）=-f（x-3）=f（x），則函數f（x）是周期為6的函數，進而可得f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（-3+6×14）=f（-3），f（64）=f（-2+6×11）=f（-2），進而結合函數的奇偶性可得則f（49）=f（1+6×8）=f（1），f（81）=f（-3）=f（3），f（64）=f（-2）=f（2），進而結合題意分析可得函數f（x）在區間[0，3]上為增函數，進而有f（1）＜f（2）＜f（3），即f（49）＜f（64）＜f（81）；即可得答案．

解答 解：根據題意，函數f（x）滿足f（x-3）=-f（x），
有f（x-6）=-f（x-3）=f（x），則函數f（x）是周期為6的函數，
f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（-3+6×14）=f（-3），
f（64）=f（-2+6×11）=f（-2），
又由函數為偶函數，則f（49）=f（1+6×8）=f（1），
f（81）=f（-3）=f（3），
f（64）=f（-2）=f（2），
又由對?x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
則函數f（x）在區間[0，3]上為增函數，
進而有f（1）＜f（2）＜f（3），
即f（49）＜f（64）＜f（81）；
故選：A

點評 本題考查函數奇偶性與單調性的綜合運用，涉及函數周期性的判定與應用，注意由$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0判斷出函數的單調性．