Question

13．在△ABC中，B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，則A的角平分線AD，則AD=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可求sinC=$\frac{1}{2}$，可得C=30°，利用三角形內角和定理及已知可求∠BAD，進而可求∠ADB的值，在△ABD中，由正弦定理即可解得AD的值．

解答 解：∵△ABC中，B=120°，AB=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{ABsinB}{AC}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴C=30°，A=180°-B-C=30°，
∵AD為A的角平分線，
∴∠BAD=15°，∠ADB=180°-∠B-∠BAD=45°，
∴在△ABD中，由正弦定理可得：AD=$\frac{ABsin∠B}{sin∠ADB}$=$\frac{\sqrt{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形內角和定理在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．