Question

16．已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx，k∈R的圖象關于y軸對稱．
（1）求實數k的值；
（2）若關于x的方程log₄（4^x+1）-$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x+a無實根，求a的取值范圍；
（3）若函數h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1，x∈[0，log₂3]，是否存在實數m，使得h（x）最小值為0？若存在求出m值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據偶函數可知f（x）=f（-x），取x=-1代入即可求出k的值；
（2）由（1）中結論，可以得到函數的解析式，構造函數y=log₄（4^x+1）-x，分析出函數的單調性及值域，根據函數零點的判定方法，我們易確定b取不同值時，函數零點個數，進而得到答案．
（3）問題轉化為y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值為0，分類討論，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）的圖象關于y軸對稱．
∴函數f（x）是偶函數．
∴f（-x）=f（x）
即log₄（4^-x+1）-kx=log₄（4^x+1）+kx
即log₄（4^x+1）-（k+1）x=log₄（4^x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=-$\frac{1}{2}$；
證明：（2）由（1）得f（x）=log₄（4^x+1）=-$\frac{1}{2}$x，
令y=log₄（4^x+1）-x-a
由于y=log₄（4^x+1）-x-a為減函數，且恒為正，
故當a＞0時，y=log₄（4^x+1）-x-a有唯一的零點，
此時函數y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a有一個交點，
當a≤0時，y=log₄（4^x+1）-x-a沒有零點，
此時函數y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點，
綜上所述，a≤0時，函數y=f（x）的圖象與直線y=$\frac{1}{2}$x+a沒有交點；
（3）h（x）=4${\;}^{f（x）+\frac{1}{2}x}$+m•2^x-1=4^x+m-2^x，x∈[0，log₂3]
設t=2^x，則t∈[1，3]
∴y=t²+mt在t∈[1，3]上最小值為0
又∵y=（t+$\frac{m}{2}$）²-$\frac{{m}^{2}}{4}$，t∈[1，3]，
當-$\frac{m}{2}$≤1 即m≥-2時，t=1時y_min=m+1=0，
∴m=-1，符合，
 當-1＜-$\frac{m}{2}$＜3 即-6＜m＜-2時，t=-$\frac{m}{2}$時，y_min=-$\frac{{m}^{2}}{4}$=0
∴m=0    不符合
當-$\frac{m}{2}$≥3 即m≤-6時，t=3時，y_min=9+3m=0，
∴m=-3，符合，
綜上所述m的值為-3，-1．

點評 本題主要考查了偶函數的性質，以及對數函數圖象與性質的綜合應用，同時考查了分類討論的思想，由于綜合考查了多個函數的難點，屬于難題．