Question

7．已知函數f（x）=ax³+bx+12在x=2處取得極值為-4．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，得到關于a，b的方程，解出即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）因f（x）=ax³+bx+12，故f'（x）=3ax²+b．  
由于f（x）在點x=2處取得極值，
故有$\left\{{\begin{array}{l}{f'（2）=0}\\{f（2）=-4}\end{array}}\right.$即$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{8a+2b+12=-4}\end{array}}\right.$，）
化簡得$\left\{{\begin{array}{l}{12a+b=0}\\{4a+b=-8}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-12}\end{array}}\right.$
（2）由（1）知，f'（x）=3x²-12
令f'（x）=0，得x₁=-2，x₂=2
當x∈（-3，-2）時，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-2）上為增函數；
當x∈（-2，2）時，f'（x）＜0，故f（x）在（-2，2）上為減函數
當x∈（2，3）時f'（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數．
由此可知f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=28，f（x）在x=2處取得極小值f（2）=-4．
此時f（-3）=21，f（3）=3，
因此f（x）上[-3，3]的最大值為28．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用，是中檔題．