Question

12．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，過點F作與x軸垂直的直線l交兩漸近線于A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），λμ=$\frac{1}{16}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由方程可得漸近線，可得A，B，P的坐標，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，解之可得λμ的值，由λμ=$\frac{1}{16}$，可得a，c的關系，由離心率的定義可得．

解答 解：雙曲線的漸近線為：y=±$\frac{b}{a}$x，設焦點F（c，0），則
A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
因為$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
所以（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
所以λ+μ=1，λ-μ=$\frac{b}{c}$，
解得：λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
又由λμ=$\frac{1}{16}$，得：$\frac{{c}^{2}-{b}^{2}}{4{c}^{2}}=\frac{1}{16}$，
解得$\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
所以，e=2．
故選：D

點評 本題考查雙曲線的簡單性質，涉及雙曲線的離心率的求解，屬中檔題．