Question

17．若二次函數(shù)f（x）=x²+1的圖象與曲線C：g（x）=ae^x+1（a＞0）存在公共切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

Answer 1

分析 設(shè)公切線與f（x）、g（x）的切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義、斜率公式列出方程化簡，分離出a后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：f（x）=x²+1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x，g（x）=ae^x+1的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=ae^x，
設(shè)公切線與f（x）=x²+1的圖象切于點(diǎn)（x₁，x₁²+1），
與曲線C：g（x）=ae^x+1切于點(diǎn)（x₂，ae^x₂+1），
∴2x₁=ae^x₂=$\frac{a{e}^{{x}_{2}}+1-（{{x}_{1}}^{2}+1）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{a{e}^{{x}_{2}}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
化簡可得，2x₁=$\frac{2{x}_{1}-{{x}_{1}}^{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，得x₁=0或2x₂=x₁+2，
∵2x₁=ae^x₂，且a＞0，∴x₁＞0，則2x₂=x₁+2＞2，即x₂＞1，
由2x₁=ae^x₂，得a=$\frac{2{x}_{1}}{{e}^{{x}_{2}}}$=$\frac{4（{x}_{2}-1）}{{e}^{{x}_{2}}}$，
設(shè)h（x）=$\frac{4（x-1）}{{e}^{x}}$（x＞1），則h′（x）=$\frac{4（2-x）}{{e}^{x}}$，
∴h（x）在（1，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]，
故答案為：（0，$\frac{4}{{e}^{2}}$]．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、斜率公式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值問題的應(yīng)用，及方程思想和構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．