Question

20．如圖，三棱錐P-ABC中，△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=2，PA=PB=PC=$\sqrt{6}$．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求平面PBC和平面ABC夾角的正切值．

Answer 1

分析 （1）設O是AC的中點，連接PO，BO，推導出PO⊥AC，PO⊥OB，從而PO⊥平面ABC，由此能證明平面PAC⊥平面ABC．
（2）設H是BC的中點，連接OH，PH，則∠PHO為平面PBC和平面ABC的夾角，由此能求出平面PBC和平面ABC夾角的正切值．

解答 （本小題滿分17分）
證明：（1）如圖，設O是AC的中點，連接PO，BO．
∵△ABC為等腰直角三角形，AB=BC=2，∴AC=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$．…（3分）
又∵PA=PC=$\sqrt{6}$，∴PO⊥AC，PO=2．…（5分）
∴PO²+BO²=PB²，即PO⊥OB．…（7分）
又∵BO∩AC=O，∴PO⊥平面ABC．
∵PO?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．…（9分）
解：（2）設H是BC的中點，連接OH，PH．
∵O為AC的中點，∴OH∥AB，且OH=$\frac{1}{2}$AB=1．…（12分）
∵AB⊥BC，∴OH⊥BC．又PB=PC，∴PH⊥BC．
∴∠PHO為平面PBC和平面ABC的夾角． …（15分）
在Rt△PHO中，tan∠PHO=$\frac{PO}{OH}$=$\frac{2}{1}$=2，
即平面PBC和平面ABC夾角的正切值為2．…（17分）

點評 本題考查面面垂直的證明，考查面面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．