Question

11．據調查分析，若干年內某產品關稅與市場供應量P的關系近似地滿足：y=P（x）=2${\;}^{（1-kt）（x-b）^{2}}$，（其中，t為關稅的稅率，且t∈[0，$\frac{1}{2}$），x為市場價格，b，k為正常數），當t=$\frac{1}{8}$時的市場供應量曲線如圖．
（Ⅰ）根據圖象求b，k的值；
（Ⅱ）若市場需求量為Q（x）=2${\;}^{11-\frac{t}{2}}$，當p=Q時的市場價格稱為市場平衡價格，當市場平衡價格保持在10元時，求稅率t的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象知函數圖象過（5，1），（7，2），得到$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{k}{8}）（5-b）^{2}=0}\\{（1-\frac{k}{8}）（7-b）^{2}=1}\end{array}\right.$，解得即可．
（2）能根據題意構造函數，并能在定義域內求函數的最小值．

解答 解：（1）由圖象知函數圖象過（5，1），（7，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{（1-\frac{k}{8}）（5-b）^{2}=0}\\{（1-\frac{k}{8}）（7-b）^{2}=1}\end{array}\right.$，解得k=6，b=5；
（2）當P=Q時，${2}^{（1-6t）（x-5）^{2}}$=2${\;}^{11-\frac{x}{2}}$，即（1-6t）（x-5）²=11-$\frac{x}{2}$，
即2-12t=$\frac{22-x}{（x-5）^{2}}$，
令m=$\frac{1}{x-5}$（0＜m≤$\frac{1}{5}$），則2（1-6t）=17m²-m=17（m-$\frac{1}{34}$）²-$\frac{1}{68}$，
∴m=$\frac{1}{5}$時，2（1-6t）_max=$\frac{12}{25}$
∴1-6t≤$\frac{6}{25}$，
即t≥$\frac{19}{150}$，
∴稅率t=$\frac{19}{150}$時，平衡價格為10元．

點評 此題是個指數函數的綜合題，但在求解的過程中也用到了構造函數的思想及二次函數在定義域內求最值的知識，屬于中檔題