Question

已知函數，（其中為常數）．

（1）如果函數和有相同的極值點，求的值；

（2）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．

（3）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

（1）或；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求函數的極值和最值、利用導數判斷函數的單調性、求函數的零點等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，對求導，得到有2個根，而在處有極大值，所以那2個根分別等于，得到a的值；第二問，假設存在使得，將代入得到解析式，由于，所以將問題轉化成了存在，使得，分類討論，討論拋物線的對稱軸和區間端點的大小，數形結合，得到結論；第三問，已知條件中有5個不同的零點，根據解析式的特點，知有3個不同的實根，有2個不同的實根，通過拋物線的圖形可知要使有2個不同的實根，只需，而，通過第一問得到的極值點，討論2個數的3種大小關系，結合圖象，確定a的取值范圍，a的取值范圍需保證和同時成立，還得保證這5個根互不相等.

試題解析：（1），則，

令，得或，而在處有極大值，

∴或；綜上：或． 3分

（2）假設存在，即存在，使得

，

當時，又，故，則存在，使得

， 4分

當即時，得，；

5分

當即時，得， 6分

無解；綜上：． 7分

(3)據題意有有3個不同的實根，有2個不同的實根，且這5個實根兩兩不相等．\（ⅰ）有2個不同的實根，只需滿足； 8分

（ⅱ）有3個不同的實根，

當即時，在處取得極大值，而，不符合題意，舍； 9分

當即時，不符合題意，舍；

當即時，在處取得極大值，；所以； 10分

因為（ⅰ）（ⅱ）要同時滿足，故；（注：也對） 11分

下證：這5個實根兩兩不相等，即證：不存在使得和同時成立.

若存在使得，

由，即，得，

當時，，不符合，舍去；

當時，既有 ①；

又由，即 ②； 聯立①②式，可得；

而當時，沒有5個不

同的零點，故舍去，所以這5個實根兩兩不相等．

綜上，當時，函數有5個不同的零點． 14分

考點：導數的運算、利用導數求函數的極值和最值、利用導數判斷函數的單調性、求函數的零點.