Question

18．定義：如果函數f（x）在[a，b]上存在x₁，x₂（a＜x₁＜x₂＜b）滿足f′（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f′（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數f（x）是[a，b]上的“雙中值函數”，已知函數f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上“雙中值函數”，則實數a的取值范圍是$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$．

Answer 1

分析 根據定義得出$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，相當于6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有兩個根，利用二次函數的性質解出a的范圍即可

解答 解：f（x）=2x³-x²+m是[0，2a]上的“雙中值函數”，
∴$\frac{f（2a）-f（0）}{2a}$=8a²-2a，
∵f'（x）=6x²-2x，
∴6x²-2x=8a²-2a在[0，2a]上有兩個根，
令g（x）=6x²-2x-8a²+2a，
∴△=4+24（8a²-2a）＞0，
g（0）＞0，即-8a²+2a＞0，
g（2a）＞0，即24a²-4a-8a²+2a＞0，
2a＞$\frac{1}{6}$，
解得：a∈$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$
故答案為：$（{\frac{1}{8}，\frac{1}{4}}）$

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，熟練掌握方程根與對應函數零點之間的關系是解答的關鍵．