Question

10．已知函數f（x）=x²e^x．
（1）求f（x）在（-∞，0）上的最大值；
（2）若函數f（x）在（-1，+∞）上的最小值為m，當x＞0時，試比較$m-\frac{1}{2}$與lnx-2x+1的大小．

Answer 1

分析 （1）先求導，根據導數和函數的最值得關系即可求出，
（2）根據函數的單調性和最值得關系可求出m的值，再構造函數g（x）=lnx-2x+1，利用導數求出函數的最大值，即可比較大小．

解答 解：（1）f'（x）=（x²+2x）e^x，
∵當x＜-2時，f'（x）＞0，f（x）遞增；
當-2＜x＜0時，f'（x）＜0；f（x）遞減，
∴f（x）在（-∞，0）上的最大值為$f（{-2}）=\frac{4}{e^2}$．
（2）∵當-1＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）遞減，
當x＞0時，f'（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（x）在（-1，+∞）上的最小值為f（0）=0，
∴m=0．
設g（x）=lnx-2x+1，
則g′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
當g′（x）＞0時，即0＜x＜$\frac{1}{2}$，函數g（x）單調遞增，
當g′（x）＜0時，即x＞$\frac{1}{2}$，函數g（x）單調遞減，
∴g（x）_max=g（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$+1=ln$\frac{1}{2}$=-ln2＜-ln$\sqrt{e}$=-$\frac{1}{2}$，
∵m-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$
∴$m-\frac{1}{2}$＞lnx-2x+1

點評 本題考查了導數和函數的最值得關系，考查了學生的運算能力和轉化能力，屬于中檔題．