Question

8．已知函數f（x）=$\frac{{x}^{2}+5x+5}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的極大值；
（2）求f（x）在區間（-∞，0]上的最小值；
（3）若x²+5x+5-ae^x≥0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數f（x）的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極大值即可；
（2）根據函數的單調性，求出函數在閉區間的最小值即可；
（3）問題轉化為$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$，根據函數的單調性得到函數f（x）在區間（-∞，0]上有最小值-e³，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）${f^'}（x）=\frac{-x（x+3）}{e^x}$…（1分）
當x＜-3時，f′（x）＜0
當-3＜x＜0時，f′（x）＞0
當x＞0時，f′（x）＜0…（3分）
所以函數f（x）在（-∞，-3）上為單調遞減函數
在（-3，0）上為單調遞增函數
在（0，+∞）上為單調遞減函數…（4分）
因此函數f（x）在x=0處有極大值f（0）=5     …（5分）
（2）由（1）得函數f（x）在（-∞，-3）上為單調遞減函數，
在（-3，0）上為單調遞增函數
所以函數f（x）在x=-3處有最小值f（-3）=-e³…（7分）
（3）$a≤\frac{{{x^2}+5x+5}}{e^x}=f（x）$…（9分）
由（2）得函數f（x）在區間（-∞，0]上有最小值-e³…（10分）
當x＞0時，f（x）＞0  …（11分）
所以函數f（x）在定義域中的最小值為-e³，所以a≤-e³
即a的取值范圍為（-∞，-e³]…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．