Question

已知直線x-y=0與拋物線x²=2py交于A、B兩點，若點P（2，2）為AB中點，求拋物線方程．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由于

x

2 1

=2py1，

x

2 2

=2py2，可得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．再利用斜率計算公式與中點坐標公式即可得出．

解答： 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵

x

2 1

=2py1，

x

2 2

=2py2，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）=2p（y₁-y₂）．
又

y1-y2

x1-x2

=1，x₁+x₂=2×2，
∴4=2p，解得p=2．
∴拋物線的方程為：x²=4y．

點評：本題考查了“點差法”、斜率計算公式與中點坐標公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．