Question

已知函數f（x）=e^x，（x∈R）
（1）求f（x）在點（1，e）處的切線方程；
（2）證明：曲線y=f（x）與曲線y=

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x²+x+1有唯一公共點．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的導數，利用導數的幾何意義即可求f（x）在點（1，e）處的切線方程；
（2）構造函數h（x）=f（x）-（ 

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x²+x+1）=e^x-

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x²-x-1，利用導數判斷函數的單調性即可證明：曲線y=f（x）與曲線y=

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2

x²+x+1有唯一公共點．

解答： 解：（1）函數的導數f′（x）=e^x，則f′（1）=e，
則f（x）點（1，e）處的切線方程為：y-e=e（x-1），
即y=ex．
（2）令h（x）=f（x）-（ 

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x²+x+1）=e^x-

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x²-x-1，
則h′（x）=e^x-x-1，
[h′（x）]′=e^x-1，且h（0）=0，h′（0）=0，[h′（0）]′=0，
因此，當x＜0時，[h′（x）]′＜0，y=h′（x）單調遞減；
當x＞0時，[h′（x）]′＞0，y=h′（x）單調遞增．
所以y=h′（x）≥h′（0）=0，
所以y=h（x）在R上單調遞增，
又h（0）=0，即函數h（x）有唯一零點，
故曲線y=f（x）與曲線y=

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x²+x+1有唯一公共點（0，1）．

點評：本題主要考查導數的綜合應用，利用導數求函數的切線以及構造函數判斷函數的單調性是解決本題的關鍵．