Question

已知函數f（x）=cos（ωx-

π

6

）-cos（ωx+

π

6

）-2cos²

ωx

2

（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,兩角和與差的正弦函數,正弦函數的單調性

專題：三角函數的求值

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數的解析式為f（x）═

2

sin（ωx-

π

4

）-1，再根據f（x）的最小正周期為

2π

ω

=π，求得ω的值．
（Ⅱ）由f（x）═

2

sin（2x-

π

4

）-1，令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得f（x）的單調遞增區間．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=cos（ωx-

π

6

）-cos（ωx+

π

6

）-2cos²

ωx

2

 
=cosωxcos

π

6

+sinωxsin

π

6

-（cosωxcos

π

6

-sinωxsin

π

6

）-2•

1+cosωx

2

=sinωx-cosωx-1=

2

sin（ωx-

π

4

）-1，
因為f（x）的最小正周期為

2π

ω

=π，即ω=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1．      
由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，
所以f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈z．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，余弦函數的周期性和單調性，屬于基礎題．