Question

8．若數列…，a_-2，a_-1，a₀，a₁，a₂，…滿足${a_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_{n+1}}}}{3}（{n∈Z}）$，則稱{a_n}具有性質A．
（Ⅰ）若數列{a_n}、{b_n}具有性質A，k為給定的整數，c為給定的實數．以下四個數列中哪些具有性質A？請直接寫出結論．
①{-a_n}；②{a_n+b_n}；③{a_n+k}；④{ca_n}．
（Ⅱ）若數列{a_n}具有性質A，且滿足a₀=0，a₁=1．
（i）直接寫出a_-n+a_n（n∈Z）的值；
（ii）判斷{a_n}的單調性，并證明你的結論．
（Ⅲ）若數列{a_n}具有性質A，且滿足a_-2004=a₂₀₁₅．求證：存在無窮多個整數對（l，m），滿足a_t=a_m（l≠m）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由新定義可知①②③④均具有性質A；
（Ⅱ）（i）a_-n+a_n=0（n∈Z）；
（ii）用數學歸納法證明當n∈N時，{a_n}單調遞增；
（Ⅲ）令b_k=a_k-2014，c_k=a_2015-k，可知其滿足b₀=a_-2014=a₂₀₁₅=c₀，b₄₀₂₉=a_4029-2014=a₂₀₁₅=a_-2014=a_2015-4029=a₄₀₂₉．
記d_k=b_k-c_k，則{d_k}也具有性質A，且d₀=d₄₀₂₉=0，然后分d₁≠0和d₁=0證明存在無窮多個整數對（l，m），滿足a_t=a_m（l≠m）．

解答 解：（Ⅰ）①②③④；
（Ⅱ）（i）a_-n+a_n=0（n∈Z）；
（ii）（1）用數學歸納法證明當n∈N時，有a_n+1＞a_n．
當n=0時，結論成立；
設n=k時（k∈N）時，有a_k+1＞a_k，
則當n=k+1時，有a_k+2=3a_k+1-a_k＞2a_k+1+（2a_k+1-a_k）＞2a_k+1＞a_k+1．
故a_n+1＞a_n（n∈N）；
（2）當n＜0時，由（ii），有a_n=-a_-n，a_n+1=-a_-（n+1），
當-n≥-（n+1）≥0，得a_-n＞a_-（n+1），即-a_n＞-a_n+1，即a_n+1＞a_n．
由（1），（2），有a_n+1＞a_n（n∈Z），故{a_n}單調遞增；
（Ⅲ）令b_k=a_k-2014，c_k=a_2015-k，
其滿足b₀=a_-2014=a₂₀₁₅=c₀，b₄₀₂₉=a_4029-2014=a₂₀₁₅=a_-2014=a_2015-4029=a₄₀₂₉．
記d_k=b_k-c_k，則{d_k}也具有性質A，且d₀=d₄₀₂₉=0，
若d₁≠0，則令${x}_{k}=\frac{p9vv5xb5_{k}}{p9vv5xb5_{1}}$，{x_k}也具有性質A，且x₀=0，x₁=1．
由（Ⅱ）知，{x_n}單調遞增，則0＞x₄₀₂₉＞x₁=1，矛盾；
故d₁=0，從而，由$p9vv5xb5_{n}=\frac{p9vv5xb5_{n-1}+p9vv5xb5_{n+1}}{3}$（n∈Z），及d₀=d₁=0，可得d_n=0（n∈Z），
即b_n-c_n=0，a_n-2014-a_2015-n=0，a_n-2014=a_2015-n對一切整數n成立．
故可取m=n-2014，l=2015-n（n∈Z），易得m，l∈Z，m≠l，（否則n=$\frac{4029}{2}$∉Z），（l，m）滿足題意，
由n有無窮多種取值，且不同的整數n對應不同的整數對（l，m），
知這樣的整數對（l，m）有無窮多個．

點評 本題考查數列的應用，考查數列的函數特性，考查邏輯思維能力和推理運算能力，難度較大．