Question

3．已知P是以F₁，F₂為焦點的橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上的一點，若PF₁⊥PF₂，且|PF₁|=2|PF₂|，則此橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知：設|PF₁|=2m，|PF₂|=m，由橢圓的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，即a=$\frac{3m}{2}$，由PF₁⊥PF₂，則|PF₁|²+|PF₂|²=丨F₁F₂丨²，求得c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}m}{\frac{3}{2}m}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

解答 解：橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點在x軸上，設|PF₁|=2m，|PF₂|=m，
由橢圓的定義可得：|PF₁|+|PF₂|=2a，
2m+m=2a，即a=$\frac{3m}{2}$，
∵PF₁⊥PF₂，
由勾股定理可知：|PF₁|²+|PF₂|²=丨F₁F₂丨²，
4m²+m²=（2c）²，即5m²=4c²，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$m，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}m}{\frac{3}{2}m}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的定義的應用，考查勾股定理及橢圓離心率公式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．