Question

13．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易數據顯示，天貓元旦當天全天的成交金額為315.5億元．為了了解網購者一次性購物情況，某統計部門隨機抽查了1月1日100名網購者的網購情況，得到如表數據統計表，已知網購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4．

網購金額（元）	頻數	頻率
（0，500]	5	0.05
（500，1000]	x	p
（1000，1500]	15	0.15
（1500，2000]	25	0.25
（2000，2500]	30	0.3
（2500，3000]	y	q
合計	100	1.00

（1）先求出x，y，p，q的值，再將如圖3所示的頻率分布直方圖繪制完整；
（2）對這100名網購者進一步調查顯示：購物金額在2000元以上的購物者中網齡3年以上的有35人，購物金額在2000元以下（含2000元）的購物者中網齡不足3年的有20人，請填寫下面的列聯表，并據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網購金額超過2000元與網齡在3年以上有關？

x	網齡3年以上	網齡不足3年	合計
購物金額在2000元以上	35
購物金額在2000元以下		20
總計			100

參考數據：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（3）從這100名網購者中根據購物金額分層抽出20人給予返券獎勵，為進一步激發購物熱情，在（2000，2500]和（2500，3000]兩組所抽出的8人中再隨機抽取2人各獎勵1000元現金，求（2000，2500]組獲得現金將的數學期望．

Answer 1

分析 （1）求出網購金額在2000元以上的人數，可得x，y的值，由此能求出x，y，p，q的值，并補全頻率分布直方圖．
（2）由數據可得列聯表，利用公式，可得結論．
（3）（2000，2500]組獲獎人數X為0，1，2，求出相應的概率，即可得出（2000，2500]組獲得現金將的數學期望．

解答 解：（1）因為網購金額在2000元以上（不含2000元）的頻率為0.4，
所以網購金額在（2500，3000]的頻率為0.4-0.3=0.1，
即q=0.1，且y=100×0.1=10，
從而x=15，p=0.15，相應的頻率分布直方圖如圖2所示．

…（4分）
（2）由題設列聯表如下

	網齡3年以上	網齡不足3年	合計
購物金額在2000元以上	35	5	40
購物金額在2000元以下	40	20	60
合計	75	25	100

…（7分）
所以K²=$\frac{100×（35×20-40×5）^{2}}{75×25×40×60}$≈5.56＞5.024
所以據此列聯表判斷，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為網購金額超過2000元與網齡在3年以上有關．…（8分）
（3）在（2000，2500]和（2500，3000]兩組所抽出的8人中再抽取2人各獎勵1000元現金，則（2000，2500]組獲獎人數X為0，1，2，
且P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{15}{28}$，
故（2000，2500]組獲得現金獎的數學期望E（X）=0×$\frac{1}{28}$+1000$\frac{3}{7}$+2000×$\frac{15}{28}$=1500．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖，考查獨立性檢驗的運用，考查數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．