Question

7．在正四面體S-ABC中，若點E、F分別為SC、AB的中點，則異面直線EF、SA的夾角大小為45°．

Answer 1

分析 取AC中點O，連結OF、OE，則∠FEO是異面直線EF、SA的夾角（或為夾角的補角），由此能求出異面直線EF、SA的夾角大小．

解答 解：取AC中點O，連結OF、OE，
∵在正四面體S-ABC中，若點E、F分別為SC、AB的中點，
∴OF∥BC，OE∥SA，∴∠FEO是異面直線EF、SA的夾角（或為夾角的補角），
設正四面體S-ABC的棱長為a，
則OF=OE=$\frac{a}{2}$，CF=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{a}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴cos∠FEO=$\frac{E{F}^{2}+{OE}^{2}-O{F}^{2}}{2×EF×OE}$=$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{1}{4}{a}^{2}-\frac{1}{4}{a}^{2}}{2×\frac{\sqrt{2}}{2}a×\frac{a}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠FEO=45°．
∴異面直線EF、SA的夾角大小為45°．
故答案為：45°．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．