Question

17．已知{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列．
（I）求{a_n}的通項公式及$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和；
（Ⅱ）設(shè)S_n表示{a_n}的前n項和，{b_n}是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q²-（a₄+1）q+S₄=0，求{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得到{a_n}的通項公式，利用裂項相消法求$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和；
（Ⅱ）通過q²-（a₄+1）q+S₄=0，求出等比數(shù)列的公比，然后求{b_n}的通項公式及其前n項和T_n．

解答 解：（I）因為{a_n}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
故$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$．
有$\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）=\frac{n}{2n+1}$．
設(shè)Tn
（ II）由（ I）得，${S_n}=1+3+…+（{2n-1}）=\frac{{n（{{a_1}+{a_n}}）}}{2}=\frac{{n（{1+2n-1}）}}{2}={n^2}$，a₄=7，S₄=16．
因為q²-（a₄+1）q+S₄=0，即q²-8q+16=0．
所以（q-4）²=0，從而q=4．
又因b₁=2，是{b_n}公比q=4的等比數(shù)列，所以b_n=b_1q^n-1=2×4^n-1=2^2n-1．
從而得{b_n}的前n項和T_n=$\frac{{b}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．