Question

7．已知圓C：（x-1）²+y²=2，點P是圓內的任意一點，直線l：x-y+b=0．
（1）求點P在第一象限的概率；
（2）若b∈[-3，3]，求直線l與圓C相交的概率．

Answer 1

分析 （1）設圓C與y軸的交點為A，B．連接CA，CB．令（x-1）²+y²=2中的x=0得y=±1，可得：∠ACB=90°，
分別求出：圓在y軸左側的弓形的面積，圓面在第一象限部分的面積，即可得出．
（2）欲使直線l與圓C相交，須滿足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}＜\sqrt{2}$，解得-3＜b＜1．又b∈[-3，3]，利用幾何概率計算公式即可得出．

解答 解：（1）設圓C與y軸的交點為A，B．
連接CA，CB．令（x-1）²+y²=2中的x=0得y=±1，
∴|AB|=2，
∵$|CA|=|CB|=\sqrt{2}$，∴∠ACB=90°，
∴圓在y軸左側的弓形的面積為$\frac{1}{4}π×{（\sqrt{2}）^2}-\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{π}{2}-1$，
∴圓面在第一象限部分的面積為$\frac{1}{2}π×{（\sqrt{2}）^2}-\frac{1}{2}（\frac{π}{2}-1）=\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}$．
∴點P在第一象限的概率$P=\frac{{\frac{3π}{4}+\frac{1}{2}}}{2π}=\frac{3}{8}+\frac{1}{4π}$．
（2）欲使直線l與圓C相交，須滿足$\frac{|1+b|}{{\sqrt{2}}}＜\sqrt{2}$，
即|1+b|＜2，解得-3＜b＜1．又∵b∈[-3，3]，
∴直線l與圓C相交的概率$P=\frac{1-（-3）}{3-（-3）}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了幾何概率計算公式、圓的有關計算，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．