Question

17．已知圓C：（x-2）²+y²=1．
（1）求：過點P（3，m）與圓C相切的切線方程；
（2）若點Q是直線x+y-6=0上的動點，過點Q作圓C的切線QA，QB，其中A，B為切點，求：四邊形QACB面積的最小值及此時點Q的坐標．

Answer 1

分析 （1）當m=0時，P在圓上，則切線方程為x=3；當m≠0時，設過點P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．再由直線與圓相切的條件：d=r，求出k，注意k不存在的情況也成立；
（2）由圖象求得四邊形QACB的面積為S=2×$\frac{1}{2}$QA•AC=QA，當QA最小時，S最小，由勾股定理知只要求得QC的最小，可經過C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．運用點到直線的距離公式，即可得到最小值．

解答 解：（1）當m=0時，P在圓上，則切線方程為x=3；
當m≠0時，設過點P（3，m）與圓C相切的切線方程為：
y-m=k（x-3）．即kx-y+m-3k=0．
則由直線與圓相切得，d=r，即有$\frac{|2k+m-3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$，即y=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$x+$\frac{3-{m}^{2}}{2m}$，
顯然x=3也是切線方程．
故m=0時，切線方程為x=3；當m≠0時，切線方程為x=3或
y=$\frac{{m}^{2}-1}{2m}$x+$\frac{3-{m}^{2}}{2m}$；
（2）由圖象可知AC=BC=1，AQ=BQ，四邊形QACB的面積為S=2×$\frac{1}{2}$QA•AC=QA，
當QA最小時，S最小．在直角三角形QAC中，QA=$\sqrt{Q{C}^{2}-1}$，
只要求得QC的最小，可經過C作直線x+y-6=0的垂線，垂足即為所求．
由點到直線的距離公式，得C到直線的距離d=$\frac{|2+0-6|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
則此時QA=$\sqrt{7}$，故四邊形QACB的面積的最小為$\sqrt{7}$．
此時CQ：y=x-2，∴Q（4，2）．

點評 本題考查直線與圓的位置關系，考查切線方程的求法，注意斜率不存在的情況，考查運用平面幾何知識解決最值問題，屬于中檔題．