Question

18．在公比為正數的等比數列{a_n}中，${a_3}-{a_1}=\frac{16}{27}$，${a_2}=-\frac{2}{9}$，數列{b_n}（b_n＞0）的前n項和為S_n滿足${S_n}-{S_{n-1}}=\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2），且S₁₀=100．
（ I）求數列{a_n}和數列{b_n}的通項公式；
（ II）求數列{a_nb_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差數列與等比數列的通項公式可得a_n，S_n，再利用遞推關系可得b_n．
（II）${a_n}{b_n}=-2（2n-1）\frac{1}{3^n}$．利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）設{a_n}的公比為q（q＞0），則$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}{q^2}-{a_1}=\frac{16}{27}}\\{{a_1}q=-\frac{2}{9}}\end{array}}\right.$，
∴3q²+8q-3=0，由q＞0，解得$q=\frac{1}{3}$，${a_1}=-\frac{2}{3}$，
∴${a_n}=-2×{（{\frac{1}{3}}）^n}$．
∵${S_n}-{S_{n-1}}=（{\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}}）（{\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}}）$=$\sqrt{S_n}+\sqrt{{S_{n-1}}}$，
又b_n＞0，$\sqrt{S_n}＞0$，∴$\sqrt{S_n}-\sqrt{{S_{n-1}}}=1$，數列$\left\{{\sqrt{S_n}}\right\}$構成一個公差為1的等差數列，
∵$\sqrt{{S_{10}}}=10$，∴S₁=1，∴$\sqrt{S_n}=n$，${S_n}={n^2}$．
當n=1，b₁=S₁=1，
當n≥2，b_n=S_n-S_n-1=2n-1（n=1也滿足）．
（II）${a_n}{b_n}=-2（2n-1）\frac{1}{3^n}$．
∴${T_n}=-2（{\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}…\frac{2n-1}{3^n}}）$$\frac{1}{3}{T_n}=-2（{\frac{1}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{5}{3^4}…\frac{2n-1}{{{3^{n+1}}}}}）$，
∴$\frac{2}{3}{T_n}=-2（{\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{2}{3^3}…+\frac{2}{3^n}-\frac{2n-1}{{{3^{n+1}}}}}）$，
∴${T_n}=\frac{2n+2}{3^n}-2$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數列與等比數列的通項公式及其求和公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．