Question

6．已知函數f（x）=k-$\frac{1}{x}$（其中k為常數）；
（1）求：函數的定義域；
（2）證明：函數在區間（0，+∞）上為增函數；
（3）若函數為奇函數，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根據使函數解析式有意義的原則，可得函數的定義域；
（2）證法一：任取x₁，x₂∈R，且0＜x₁＜x₂，作差判斷出f（x₁）-f（x₂）＜0，結合單調性的定義，可得：函數f（x）在R是增函數；
證法二：求導，根據當x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，可得：函數f（x）在R是增函數．
（3）要使函數是奇函數，需要使f（-x）+f（x）=0，解得k值．

解答 解：（1）要使函數f（x）=k-$\frac{1}{x}$有意義，顯然，只需x≠0
∴該函數的定義域是{x∈R|x≠0}…（3分）
證明：（2）
證法一：在區間（0，+∞）上任取x₁，x₂且令0＜x₁＜x₂，
則：f（x₁）-f（x₂）=（$k-\frac{1}{{x}_{1}}$）（$k-\frac{1}{{x}_{2}}$）=$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$ …（5分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁•x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
則函數f（x）在這個區間（0，+∞）上是增函數…（8分）
證法二：∵f（x）=k-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
當x∈（0，+∞）時，
f′（x）＞0恒成立，
所以函數f（x）在這個區間（0，+∞）上是增函數…（8分）
（3）由（1）知，函數的定義域關于原點對稱．
要使函數是奇函數，需要使f（-x）+f（x）=0…（10分）
則，得：2k=0，即k=0
∴當k=0時，函數是奇函數．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．